（６３） “まぐれ当たり”の正解率

【秋山仁のこんなところにも数学が！】

（６３）　“まぐれ当たり”の正解率

2009.4.25 13:00

このニュースのトピックス：学校教育

図

　勉強しないでサボっていた生徒は、テストで何も答えられません。手持ち無沙汰（さた）な生徒は、退屈しのぎに「手も足も出ません」という降参の意味を込めて、答案用紙にダルマの絵を描くのが常でした。

　しかし、最近はマークシートなどの選択式の試験が増えたせいで、たとえサッパリ分からなくても、潔く降参する生徒は少ないようです。「駄目元」でデタラメに答えを選んで、ささやかな抵抗を試みるのです。今回は、こんな不届きな試みの成果が、どのくらい功を奏するかを考えてみましょう。

　さて、５択の問題が５０題ある試験だったら、デタラメに答えを選ぶと、いったいどれくらいの点数がとれるのでしょうか。確率の定義に従って計算すれば、正解数がｎ題になる確率Ｐ（ｎ）は求められます。しかし、そんな計算をしなくても、写真のようなパチンコ台の上から、一度に大量の球を落としたときに、下部にたまる球が描く山型の分布を利用すると、おおまかな状況が把握できるのです。

　このような山型の分布は「二項分布」と呼ばれ、上から下に釘の段数が多くなると「正規分布」といわれる分布に近づきます。そして、この正規分布には「６８－９５－９９．７のルール」といわれる性質があります。これは、考察している対象の平均値と、全体のばらつき具合を示す数値（偏差）が分かれば、平均値の両側の幅σにある事象が起こる確率は６８％、幅２σとすると９５％、幅３σとすると９９．７％になるという性質です（図）。

　「５択式のテストでデタラメに答えを選んだとき、いったい何題くらい正解できるか」という事象も二項分布に従い、問題数が多くなるとその分布は正規分布に近づきます。

　したがって、５択の問題が５０題ある試験ならば、公式から平均値５０／５＝１０題、偏差σ＝√２００／５≒２．８、２σ≒５．７、３σ≒８．５が導けます。よって、正解数が７．２題から１２．８題（＝１０±２．８）の確率が６８％、正解数が４．３題から１５．７題（＝１０±５．７）の確率が９５％、正解数が１．５題から１８．５題（＝１０±８．５）の確率が９９．７％になります。

　すなわち、５０題中の１９題以上（１００点満点で３８点以上）を正答できる確率はわずか０．３％もないのです。当てずっぽうでは、ほとんど得点は稼げないということです。今日から、心を入れかえて勉強しましょう。

（東海大教育開発研究所長）

http://sankei.jp.msn.com/science/science/090423/scn0904231412001-n1.htm